Polinomlarda Basit Kesirlere Ayırma

Polinomlarda basit kesirlere ayırma, bir polinomu daha basit kesirlerin toplamı veya farkı olarak ifade etme işlemidir. Bu işlem, polinomları çözmek, integral almak ve türev almak gibi çeşitli matematiksel işlemleri basitleştirmek için kullanılır.

Basit kesirlere ayırma işlemi, polinomun paydasını çarpanlarına ayırmakla başlar. Daha sonra, payda her çarpan için bir kesir olarak ifade edilir ve bu kesirler toplanır veya çıkarılır. Örneğin,

$$ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 – 1} $$

polinomunu basit kesirlere ayırmak için, önce paydasını çarpanlarına ayırırız:

$$ x^2 – 1 = (x + 1)(x – 1) $$

Daha sonra, payda her çarpan için bir kesir olarak ifade edilir:

$$ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 – 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x – 1} $$

Burada, A ve B bilinmeyen katsayılardır. Bu katsayıları bulmak için, her iki tarafı (x + 1)(x – 1) ile çarparız:

$$ x^2 + 2x + 1 = A(x – 1) + B(x + 1) $$

Bu denklemi açtığımızda,

$$ x^2 + 2x + 1 = Ax – A + Bx + B $$

$$ x^2 + 2x + 1 = (A + B)x + (B – A) $$

elde ederiz. Bu denklemin sol ve sağ tarafları eşit olduğundan, katsayıları eşitleyebiliriz:

$$ A + B = 1 $$

$$ B – A = 2 $$

Bu iki denklemi çözerek, A = -1 ve B = 2 bulunur. Dolayısıyla,

$$ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 – 1} = \frac{-1}{x + 1} + \frac{2}{x – 1} $$

elde edilir.

Basit kesirlere ayırma işlemi, polinomları çözmek için de kullanılır. Örneğin,

$$ x^3 – 2x^2 + x – 2 = 0 $$

denklemini çözmek için, önce polinomu basit kesirlere ayırırız:

$$ x^3 – 2x^2 + x – 2 = (x – 1)(x^2 – 1) $$

Daha sonra, her çarpanı sıfıra eşitleriz:

$$ x – 1 = 0 $$

$$ x^2 – 1 = 0 $$

Bu denklemleri çözerek, x = 1, x = 1 ve x = -1 bulunur. Dolayısıyla, denklemin çözümleri x = 1, x = 1 ve x = -1’dir.

Basit kesirlere ayırma işlemi, integral almak ve türev almak gibi diğer matematiksel işlemleri basitleştirmek için de kullanılır.

Polinomlarda Basit Kesirlere Ayırma

Polinomlarda Basit Kesirlere Ayırma

Faydalı Siteler ve Dosyalar